Thema 1 · 16 Aufgaben
Exponentialfunktionen
Wachstum & Zerfall · Wertetabellen · Logarithmus · Halbwertszeit · Modellierung
Grundform
Eine Exponentialfunktion hat die Form:
\[ f(t) = a \cdot b^t \]
a = Anfangswert (bei t = 0)
b = Wachstums- / Zerfallsfaktor
Wachstum vs. Zerfall
Wachstum: \(b > 1\)
Zerfall: \(0 < b < 1\)
Anstieg um \(r\,\%\): \(b = 1 + \frac{r}{100}\)
Rückgang um \(r\,\%\): \(b = 1 - \frac{r}{100}\)
Zeitpunkt bestimmen
Wann gilt \(f(t) = c\)?
\[ a \cdot b^t = c \;\Rightarrow\; t = \frac{\lg(c/a)}{\lg b} \]
Halbwertszeit & Verdopplungszeit
\[ t_{1/2} = \frac{\lg 0{,}5}{\lg b} \quad (b<1) \]
\[ t_{\times 2} = \frac{\lg 2}{\lg b} \quad (b>1) \]
Halbwertszeit-Formel
\[ f(t) = a \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} \]
Tagesfaktor: \(b = 0{,}5^{1/T_{1/2}}\)
Parameter aus zwei Punkten
\[ b = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\!1/(t_2-t_1)} \]
\[ a = \frac{y_1}{b^{t_1}} \]
| Ausdruck | Wert | Typische Verwendung |
|---|---|---|
| \(\lg 2\) | 0,3010 | Verdopplungszeit |
| \(\lg 0{,}5\) | −0,3010 | Halbwertszeit |
| \(\lg 0{,}985\) | −0,00657 | −1,5 % / Jahr |
| \(\lg 0{,}92\) | −0,03621 | −8 % / Minute |
| \(\lg 1{,}05\) | 0,02119 | +5 % / Jahr |
1
Bakterienkultur im Labor
Exponentielles Wachstum · Verdopplung · Wertetabelle
leicht18 P
Situation
In einem Labor werden 200 Bakterien gezüchtet. Die Population verdoppelt sich jede Stunde.
t = Stunden · f(t) = Anzahl Bakterien
t = Stunden · f(t) = Anzahl Bakterien
💡 Grundwissen – Verdopplung
Verdopplung pro Zeiteinheit → Faktor \(b = 2\):
\(f(t) = a \cdot 2^t\)
\(f(t) = a \cdot 2^t\)
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Berechnen Sie die Bakterienanzahl nach 5 Stunden.
- Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(t = 0\) bis \(t = 6\).
- Nach wie vielen Stunden überschreitet die Anzahl erstmals 50 000?
a
Anfangswert \(a=200\), Verdopplungsfaktor \(b=2\):
\[ f(t) = 200 \cdot 2^t \]
b
\(f(5) = 200 \cdot 2^5 = 200 \cdot 32 = 6\,400\)
Nach 5 Stunden: 6 400 Bakterien
c
| t (h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(t) | 200 | 400 | 800 | 1 600 | 3 200 | 6 400 | 12 800 |
d
\[ 200 \cdot 2^t > 50\,000 \;\Rightarrow\; 2^t > 250 \;\Rightarrow\; t > \frac{\lg 250}{\lg 2} = \frac{2{,}3979}{0{,}3010} \approx 7{,}97 \]
Ab \(t = 8\) Stunden → 51 200 Bakterien
2
Kaffeekonsum in Deutschland
Prozentualer Rückgang · Logarithmus
leicht20 P
Situation
Im Jahr 2024 trank jede Person in Deutschland im Schnitt 168 Liter Kaffee pro Jahr. Durch wachsendes Gesundheitsbewusstsein sinkt der Konsum jährlich um 1,5 %.
t = Jahre seit 2024 · f(t) = Konsum in Liter/Person
t = Jahre seit 2024 · f(t) = Konsum in Liter/Person
💡 Merke – Prozentualer Rückgang
Rückgang um \(r\,\%\): \(b = 1 - r/100\) → bei 1,5 %: \(b = \mathbf{0{,}985}\)
- Zeigen Sie, dass \(f(t) = 168 \cdot 0{,}985^t\) den Rückgang beschreibt.
- Berechnen Sie den Konsum im Jahr 2040.
- Bestimmen Sie, in welchem Jahr der Konsum erstmals unter 140 Liter sinkt.
- Eine Studie prognostiziert 137,5 Liter für 2040. Welche Rückgangsrate führt zu diesem Wert?
a
Startwert 168 L, Faktor \(0{,}985 = 1 - 0{,}015\) ✓\(f(t)=168\cdot 0{,}985^t\)
b
2040: \(t=16\)\[ f(16)=168\cdot 0{,}985^{16}\approx 168\cdot 0{,}787\approx 132{,}1\text{ L} \]
Ca. 132,1 Liter pro Person im Jahr 2040
c
\[ 168\cdot 0{,}985^t < 140 \;\Rightarrow\; 0{,}985^t < 0{,}833 \;\Rightarrow\; t > \frac{\lg 0{,}833}{\lg 0{,}985} \approx \frac{-0{,}0792}{-0{,}00657} \approx 12{,}1 \]
Ab \(t=13\) → Jahr 2037
d
\[ 168\cdot q^{16}=137{,}5 \;\Rightarrow\; q=\left(\frac{137{,}5}{168}\right)^{1/16}\approx 0{,}9876 \]
Jährlicher Rückgang: \(1-0{,}9876=1{,}24\,\%\)
3
Geldanlage mit Zinseszins
Exponentielles Wachstum · Verdopplungszeit
leicht18 P
Situation
Herr Müller legt 4 000 € bei seiner Bank mit einem jährlichen Zinssatz von 3,5 % an.
t = Jahre · f(t) = Kapital in €
t = Jahre · f(t) = Kapital in €
💡 Zinseszinsformel
\(f(t) = K_0 \cdot (1 + p/100)^t\) → bei 3,5 %: \(b=1{,}035\)
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Wie viel Kapital hat er nach 10 Jahren?
- Wann hat sich sein Kapital verdoppelt?
- Wie hoch ist der Zinsbetrag allein im 5. Jahr?
a
\[ f(t)=4\,000\cdot 1{,}035^t \]
b
\[ f(10)=4\,000\cdot 1{,}035^{10}\approx 4\,000\cdot 1{,}4106\approx 5\,642\text{ €} \]
Nach 10 Jahren: ca. 5 642 €
c
\[ 1{,}035^t=2 \;\Rightarrow\; t=\frac{\lg 2}{\lg 1{,}035}=\frac{0{,}3010}{0{,}01494}\approx 20{,}1\text{ Jahre} \]
Verdopplung nach ca. 20 Jahren
d
Kapital zu Beginn Jahr 5: \(f(4)=4\,000\cdot 1{,}035^4\approx 4\,593\) €
Zinsbetrag: \(4\,593\cdot 0{,}035\approx 160{,}75\) €
Zinsbetrag: \(4\,593\cdot 0{,}035\approx 160{,}75\) €
Zinsbetrag im 5. Jahr: ca. 160,75 €
4
CO₂-Konzentration beim Lüften
Exponentieller Zerfall · Grenzwert · Wertetabelle
leicht18 P
Situation
Nach einer Schulstunde beträgt die CO₂-Konzentration 2 400 ppm. Beim Lüften sinkt sie je Minute um 8 %. Grenzwert: 1 000 ppm.
t = Minuten seit Lüftungsbeginn · f(t) = CO₂ in ppm
t = Minuten seit Lüftungsbeginn · f(t) = CO₂ in ppm
💡 Vorgehen
Funktion aufstellen → Wert einsetzen → Zeitpunkt per Logarithmus:
\(b^t = c \;\Rightarrow\; t = \lg(c)/\lg(b)\)
\(b^t = c \;\Rightarrow\; t = \lg(c)/\lg(b)\)
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Berechnen Sie die Konzentration nach 5 und 10 Minuten.
- Nach wie vielen Minuten ist der Grenzwert erstmals unterschritten?
- Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(t = 0, 2, 4, 6, 8, 10\) Minuten.
a
Faktor \(1-0{,}08=0{,}92\):\[ f(t)=2\,400\cdot 0{,}92^t \]
b
\(f(5)=2\,400\cdot 0{,}92^5\approx\mathbf{1\,582\text{ ppm}}\)
\(f(10)=2\,400\cdot 0{,}92^{10}\approx\mathbf{1\,043\text{ ppm}}\)
\(f(10)=2\,400\cdot 0{,}92^{10}\approx\mathbf{1\,043\text{ ppm}}\)
c
\[ 2\,400\cdot 0{,}92^t<1\,000 \;\Rightarrow\; 0{,}92^t<0{,}4167 \;\Rightarrow\; t>\frac{\lg 0{,}4167}{\lg 0{,}92}\approx\frac{-0{,}3802}{-0{,}03621}\approx 10{,}5 \]
Ab \(t=11\) Minuten unter 1 000 ppm
d
| t (min) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(t) ppm | 2 400 | 2 032 | 1 720 | 1 456 | 1 232 | 1 043 |
5
Bienenpopulation im Bienenstock
Zerfall · Wertetabelle · Sachinterpretation
leicht20 P
Situation
Im Jahr 2020 zählte ein Imker 80 000 Bienen. Durch eine Varroamilben-Infektion gehen alle 10 Jahre ca. 30 % verloren.
x = Jahrzehnte seit 2020 · f(x) = Bienenanzahl in Tausend
x = Jahrzehnte seit 2020 · f(x) = Bienenanzahl in Tausend
💡 Tipp
30 % Verlust → 70 % bleiben → Faktor \(b=0{,}7\). Wertetabelle zuerst!
- Die Funktion lautet \(f(x)=80\cdot 0{,}7^x\). Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(x=0\) bis \(6\).
- Wann sinkt die Population erstmals unter 20 000 Bienen?
- Beurteilen Sie: „Ohne Behandlung sterben Bienenstöcke vollständig aus."
a
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jahr | 2020 | 2030 | 2040 | 2050 | 2060 | 2070 | 2080 |
| f(x) Tsd. | 80,0 | 56,0 | 39,2 | 27,4 | 19,2 | 13,4 | 9,4 |
b
\[ 80\cdot 0{,}7^x<20 \;\Rightarrow\; 0{,}7^x<0{,}25 \;\Rightarrow\; x>\frac{\lg 0{,}25}{\lg 0{,}7}=\frac{-0{,}6021}{-0{,}1549}\approx 3{,}89 \]
Ab \(x=4\) Jahrzehnte → Jahr 2060 (≈ 19 200 Bienen)
c
Population stark gefährdet – sinkt auf unter ein Viertel in 4 Jahrzehnten.
Mathematisch: \(f(x)=0\) wird nie erreicht (Asymptote).
Sachlich: Unterhalb einer Mindestgröße kollabiert das Volk praktisch. Aussage sachlich vertretbar, mathematisch ungenau.
Mathematisch: \(f(x)=0\) wird nie erreicht (Asymptote).
Sachlich: Unterhalb einer Mindestgröße kollabiert das Volk praktisch. Aussage sachlich vertretbar, mathematisch ungenau.
6
Radioaktiver Zerfall – Iod-131
Halbwertszeit · Tagesfaktor · Grenzmengen
mittel22 P
Situation
Iod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Anfangsmenge: 400 g.
t = Tage · f(t) = Menge in Gramm
t = Tage · f(t) = Menge in Gramm
💡 Halbwertszeit-Modell
\(f(t)=a\cdot(1/2)^{t/T_{1/2}}\) → Tagesfaktor: \(b=0{,}5^{1/8}\)
- Zeigen Sie, dass der tägliche Zerfallsfaktor ca. 0,917 beträgt.
- Wie viel Gramm sind nach 32 Tagen noch vorhanden?
- Nach wie vielen Tagen sind erstmals weniger als 10 g vorhanden?
- Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(t=0,8,16,24,32,40\) Tage.
a
\[ b=0{,}5^{1/8}=2^{-1/8}\approx 0{,}9170\approx 0{,}917\;\checkmark \]
b
32 Tage = 4 Halbwertszeiten:
\[ f(32)=400\cdot 0{,}5^{32/8}=400\cdot 0{,}5^4=400\cdot\tfrac{1}{16}=25\text{ g} \]
Nach 32 Tagen: 25 g
c
\[ 400\cdot 0{,}5^{t/8}<10 \;\Rightarrow\; 0{,}5^{t/8}<0{,}025 \;\Rightarrow\; \frac{t}{8}>\frac{\lg 0{,}025}{\lg 0{,}5}=\frac{-1{,}602}{-0{,}301}\approx 5{,}32 \;\Rightarrow\; t>42{,}6 \]
Ab Tag 43 weniger als 10 g vorhanden
d
| t (d) | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(t) g | 400 | 200 | 100 | 50 | 25 | 12,5 |
7
Smartphone-Verkaufszahlen
Zerfall · Gesamtverkäufe · Sachbeurteilung
mittel22 P
Situation
Ein Smartphone-Modell wird 2022 eingeführt. Im ersten Jahr: 5 Mio. Geräte verkauft. Jährlicher Rückgang: 25 %.
t = Jahre seit 2022 · f(t) = Verkäufe in Mio.
t = Jahre seit 2022 · f(t) = Verkäufe in Mio.
💡 Gesamtverkäufe
Gesamtverkäufe = Summe der Einzeljahre:
\(\text{Gesamt} = f(0)+f(1)+f(2)+\ldots\) (kein Integral!)
\(\text{Gesamt} = f(0)+f(1)+f(2)+\ldots\) (kein Integral!)
- Stellen Sie \(f(t)\) auf.
- Berechnen Sie Verkaufszahlen für 2026 und 2030.
- In welchem Jahr werden erstmals weniger als 0,5 Mio. Geräte verkauft?
- Berechnen Sie Gesamtverkäufe 2022–2026 per Wertetabelle.
a
\[ f(t)=5\cdot 0{,}75^t \]
b
2026 (\(t=4\)): \(f(4)=5\cdot 0{,}75^4\approx\mathbf{1{,}58\text{ Mio.}}\)
2030 (\(t=8\)): \(f(8)=5\cdot 0{,}75^8\approx\mathbf{0{,}50\text{ Mio.}}\)
2030 (\(t=8\)): \(f(8)=5\cdot 0{,}75^8\approx\mathbf{0{,}50\text{ Mio.}}\)
c
\[ 5\cdot 0{,}75^t<0{,}5 \;\Rightarrow\; 0{,}75^t<0{,}1 \;\Rightarrow\; t>\frac{\lg 0{,}1}{\lg 0{,}75}\approx\frac{-1}{-0{,}1249}\approx 8{,}0 \]
Ab \(t=9\) → Jahr 2031
d
| t | 0 (2022) | 1 | 2 | 3 | 4 (2026) |
|---|---|---|---|---|---|
| Mio. | 5,000 | 3,750 | 2,813 | 2,109 | 1,582 |
Gesamtverkäufe 2022–2026: ca. 15,25 Mio. Geräte
8
Bevölkerungswachstum einer Stadt
Wachstumsrate aus Daten · Prognose
mittel22 P
Situation
Eine Stadt hatte 2010: 40 000 Einwohner und 2020: 52 000 Einwohner.
t = Jahre seit 2010 · f(t) = Einwohnerzahl
t = Jahre seit 2010 · f(t) = Einwohnerzahl
💡 Faktor aus zwei Punkten
\(b=\left(\dfrac{y_2}{y_1}\right)^{1/(t_2-t_1)}\)
- Bestimmen Sie den jährlichen Wachstumsfaktor und die Wachstumsrate in Prozent.
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Berechnen Sie die Prognose für das Jahr 2030.
- Wann überschreitet die Einwohnerzahl erstmals 80 000?
a
\[ b=\left(\frac{52\,000}{40\,000}\right)^{1/10}=1{,}3^{0{,}1}\approx 1{,}0266 \]
Jährliche Wachstumsrate: ca. 2,66 %
b
\[ f(t)=40\,000\cdot 1{,}0266^t \]
c
2030: \(t=20\)
\[ f(20)=40\,000\cdot 1{,}0266^{20}=40\,000\cdot 1{,}3^2=40\,000\cdot 1{,}69=67\,600 \]
Prognose 2030: ca. 67 600 Einwohner
d
\[ 1{,}0266^t=2 \;\Rightarrow\; t=\frac{\lg 2}{\lg 1{,}0266}\approx\frac{0{,}3010}{0{,}01140}\approx 26{,}4\text{ Jahre} \]
Erstmals über 80 000: ca. Jahr 2036
9
Abkühlung einer frischen Pizza
Exponentieller Zerfall · Esstemperatur bestimmen
mittel20 P
Situation
Eine frisch gebackene Pizza kommt mit 220 °C aus dem Ofen. Die Temperatur sinkt je Minute um 4 %.
t = Minuten nach dem Ofen · f(t) = Temperatur in °C
t = Minuten nach dem Ofen · f(t) = Temperatur in °C
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Berechnen Sie die Temperatur nach 10 und nach 20 Minuten.
- Eine angenehme Esstemperatur ist 60 °C. Nach wie vielen Minuten wird sie erreicht?
- Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(t=0,5,10,15,20,25\) Minuten.
a
Faktor \(0{,}96\):\[ f(t)=220\cdot 0{,}96^t \]
b
\(f(10)=220\cdot 0{,}96^{10}\approx\mathbf{146{,}3\,°C}\)
\(f(20)=220\cdot 0{,}96^{20}\approx\mathbf{97{,}2\,°C}\)
\(f(20)=220\cdot 0{,}96^{20}\approx\mathbf{97{,}2\,°C}\)
c
\[ 220\cdot 0{,}96^t=60 \;\Rightarrow\; 0{,}96^t=\frac{60}{220}\approx 0{,}2727 \;\Rightarrow\; t=\frac{\lg 0{,}2727}{\lg 0{,}96}\approx\frac{-0{,}5643}{-0{,}01773}\approx 31{,}8 \]
Nach ca. 32 Minuten auf 60 °C abgekühlt
d
| t (min) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(t) °C | 220 | 179 | 146 | 119 | 97 | 79 |
10
Medikamentenabbau im Blut
Halbwertszeit · therapeutischer Schwellenwert
mittel20 P
Situation
Ein Patient nimmt 800 mg eines Wirkstoffs ein. Halbwertszeit: 6 Stunden. Therapeutischer Schwellenwert (Mindestmenge): 50 mg.
t = Stunden nach Einnahme · f(t) = Wirkstoff in mg
t = Stunden nach Einnahme · f(t) = Wirkstoff in mg
💡 Halbwertszeit
\(f(t)=800\cdot 0{,}5^{t/6}\)
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Wie viel Wirkstoff ist nach 18 Stunden noch im Blut?
- Wann unterschreitet der Wirkstoff den Schwellenwert von 50 mg?
- Bestimmen Sie den stündlichen Zerfallsfaktor.
a
\[ f(t)=800\cdot 0{,}5^{t/6} \]
b
18 h = 3 Halbwertszeiten:
\[ f(18)=800\cdot 0{,}5^3=800\cdot 0{,}125=100\text{ mg} \]
Nach 18 Stunden: 100 mg
c
\[ 800\cdot 0{,}5^{t/6}=50 \;\Rightarrow\; 0{,}5^{t/6}=\tfrac{1}{16}=0{,}5^4 \;\Rightarrow\; t/6=4 \;\Rightarrow\; t=24\text{ h} \]
Schwellenwert unterschritten nach genau 24 Stunden
d
\[ b=0{,}5^{1/6}\approx 0{,}891 \]
Wirkstoff nimmt stündlich um ca. 10,9 % ab.
11
Rückgang des Waldbestands
Zerfall · Halbierung · Grenzjahr
mittel20 P
Situation
Ein Naturschutzgebiet hatte 2015 eine Waldfläche von 18 000 ha. Durch Rodung nimmt die Fläche jährlich um 2,5 % ab.
t = Jahre seit 2015 · f(t) = Waldfläche in ha
t = Jahre seit 2015 · f(t) = Waldfläche in ha
- Stellen Sie die Funktion \(f(t)\) auf.
- Wie groß ist die Waldfläche im Jahr 2030?
- Wann ist die Hälfte des Waldes verloren gegangen?
- Ab welchem Jahr fällt die Fläche unter 10 000 ha?
a
\[ f(t)=18\,000\cdot 0{,}975^t \]
b
\[ f(15)=18\,000\cdot 0{,}975^{15}\approx 18\,000\cdot 0{,}684\approx 12\,310\text{ ha} \]
2030: ca. 12 310 ha
c
\[ 0{,}975^t=0{,}5 \;\Rightarrow\; t=\frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}975}\approx\frac{-0{,}3010}{-0{,}01099}\approx 27{,}4\text{ Jahre} \]
Hälfte verloren ca. 2042
d
\[ 18\,000\cdot 0{,}975^t<10\,000 \;\Rightarrow\; 0{,}975^t<0{,}556 \;\Rightarrow\; t>\frac{\lg 0{,}556}{\lg 0{,}975}\approx\frac{-0{,}255}{-0{,}01099}\approx 23{,}2 \]
Ab t = 24 → Jahr 2039 unter 10 000 ha
12
Zwei Firmen im Wettbewerb
Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen · Tabellenverfahren
schwer25 P
Situation
Firma A hat 2020: 3 000 Mitarbeiter, wächst um 5 % / Jahr.
Firma B hat 2020: 1 800 Mitarbeiter, wächst um 10 % / Jahr.
t = Jahre seit 2020
Firma B hat 2020: 1 800 Mitarbeiter, wächst um 10 % / Jahr.
t = Jahre seit 2020
💡 Schnittpunkt analytisch schwer lösbar
\(A(t)=B(t)\) mit unterschiedlichen Basen → numerisch eingrenzen!
Tabelle erstellen und das Überkreuzen suchen.
Tabelle erstellen und das Überkreuzen suchen.
- Stellen Sie \(A(t)\) und \(B(t)\) auf.
- Erstellen Sie eine Wertetabelle für \(t=0,2,4,\ldots,14\).
- Grenzen Sie ein, in welchem Jahr Firma B erstmals mehr Mitarbeiter hat.
- Prognostizieren Sie beide Werte für 2035 (\(t=15\)).
a
\[ A(t)=3\,000\cdot 1{,}05^t \qquad B(t)=1\,800\cdot 1{,}10^t \]
b
| t | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(t) | 3 000 | 3 308 | 3 646 | 4 020 | 4 432 | 4 887 | 5 386 | 5 940 |
| B(t) | 1 800 | 2 178 | 2 635 | 3 189 | 3 859 | 4 669 | 5 648 | 6 833 |
c
Bei \(t=10\): A > B (4 887 > 4 669), bei \(t=12\): B > A (5 648 > 5 386).
Feiner: \(A(11)\approx 5\,131\), \(B(11)\approx 5\,136\) → B überrundet A knapp nach \(t=10\).
Feiner: \(A(11)\approx 5\,131\), \(B(11)\approx 5\,136\) → B überrundet A knapp nach \(t=10\).
Firma B überholt Firma A ca. 2031 (\(t\approx 11\))
d
\(A(15)=3\,000\cdot 1{,}05^{15}\approx 6\,237\) Mitarbeiter
\(B(15)=1\,800\cdot 1{,}10^{15}\approx 7\,519\) Mitarbeiter
\(B(15)=1\,800\cdot 1{,}10^{15}\approx 7\,519\) Mitarbeiter
2035: Firma A ≈ 6 237 · Firma B ≈ 7 519
13
Wachstumsparameter aus Messwerten
a und b aus zwei Punkten bestimmen
schwer24 P
Situation
Von einer Exponentialfunktion \(f(t)=a\cdot b^t\) sind bekannt:
f(2) = 250 und f(7) = 480
f(2) = 250 und f(7) = 480
💡 Strategie
1. Gleichungen dividieren → \(b^5\) isolieren
2. Wurzel ziehen → b | 3. Rückeinsetzen → a
2. Wurzel ziehen → b | 3. Rückeinsetzen → a
- Bestimmen Sie den Wachstumsfaktor \(b\).
- Bestimmen Sie den Anfangswert \(a\).
- Stellen Sie \(f(t)\) auf und geben Sie die Wachstumsrate in Prozent an.
- Berechnen Sie \(f(10)\).
a
\[ \frac{f(7)}{f(2)}=b^5 \;\Rightarrow\; b^5=\frac{480}{250}=1{,}92 \;\Rightarrow\; b=1{,}92^{0{,}2}\approx 1{,}139 \]
Faktor \(b\approx 1{,}139\) → ca. 13,9 % Wachstum
b
\[ a=\frac{f(2)}{b^2}=\frac{250}{1{,}139^2}\approx\frac{250}{1{,}297}\approx 192{,}8 \]
c
\[ f(t)=192{,}8\cdot 1{,}139^t \qquad\text{Wachstumsrate: }13{,}9\,\% \]
d
\[ f(10)=192{,}8\cdot 1{,}139^{10}=192{,}8\cdot(1{,}92)^2=192{,}8\cdot 3{,}686\approx 711 \]
\(f(10)\approx 711\)
14
Inflation und Kaufkraftverlust
Modellvergleich · realer Wertverlust
schwer24 P
Situation
Inflationsrate: 3 % p. a. → Produktpreis steigt von 200 €.
Sparbuch bietet 1,5 % Zinsen – ebenfalls Startguthaben 200 €.
t = Jahre · f(t) = Preis · g(t) = Sparguthaben
Sparbuch bietet 1,5 % Zinsen – ebenfalls Startguthaben 200 €.
t = Jahre · f(t) = Preis · g(t) = Sparguthaben
- Stellen Sie \(f(t)\) und \(g(t)\) auf.
- Wie teuer ist das Produkt in 15 Jahren? Wie hoch das Sparguthaben?
- Wann hat sich der Preis verdoppelt?
- Schützt das Sparbuch die Kaufkraft? Welcher Zinssatz wäre nötig?
a
\[ f(t)=200\cdot 1{,}03^t \qquad g(t)=200\cdot 1{,}015^t \]
b
\(f(15)\approx 200\cdot 1{,}558\approx\mathbf{311{,}60\text{ €}}\)
\(g(15)\approx 200\cdot 1{,}250\approx\mathbf{250{,}00\text{ €}}\)
\(g(15)\approx 200\cdot 1{,}250\approx\mathbf{250{,}00\text{ €}}\)
Kaufkraftverlust: 61,60 € – das Sparbuch deckt die Teuerung nicht
c
\[ 1{,}03^t=2 \;\Rightarrow\; t=\frac{\lg 2}{\lg 1{,}03}=\frac{0{,}3010}{0{,}01284}\approx 23{,}4\text{ Jahre} \]
Preise verdoppeln sich nach ca. 23 Jahren
d
Da \(1{,}015 < 1{,}03\): Sparguthaben wächst langsamer als die Preise → Kaufkraft sinkt.
Nötiger Zinssatz: mindestens 3 % p. a. (= Inflationsrate).
Nötiger Zinssatz: mindestens 3 % p. a. (= Inflationsrate).
15
Virusausbreitung – Zweiphasenmodell
Modellwechsel · Startwert Phase 2 · Eingrenzung
schwer26 P
Situation
Zu Beginn: 100 Infizierte, täglich +25 %. Nach 7 Tagen Maßnahmen: täglich −10 %.
Phase 1: \(t=0\) bis 7 · Phase 2: \(t>7\)
Phase 1: \(t=0\) bis 7 · Phase 2: \(t>7\)
💡 Zweiphasenmodell
Startwert Phase 2 = Endwert Phase 1: \(g(t)=f(7)\cdot 0{,}9^{(t-7)}\)
- Stellen Sie Phase 1 auf und berechnen Sie \(f(7)\).
- Wie viele Infizierte gibt es nach 2 Wochen (\(t=14\))?
- Stellen Sie die Funktion für Phase 2 auf.
- Wann fällt die Anzahl in Phase 2 wieder unter 100?
a
\[ f(t)=100\cdot 1{,}25^t \]
\(f(7)=100\cdot 1{,}25^7\approx 477\) Infizierte
b
\(t=14\) liegt in Phase 2:
\[ g(14)=477\cdot 0{,}9^{14-7}=477\cdot 0{,}9^7\approx 477\cdot 0{,}4783\approx 228 \]
Nach 2 Wochen: ca. 228 Infizierte
c
\[ g(t)=477\cdot 0{,}9^{(t-7)} \quad\text{für }t>7 \]
d
\[ 477\cdot 0{,}9^{(t-7)}<100 \;\Rightarrow\; 0{,}9^{(t-7)}<0{,}2096 \;\Rightarrow\; t-7>\frac{\lg 0{,}2096}{\lg 0{,}9}\approx\frac{-0{,}6785}{-0{,}04576}\approx 14{,}8 \]
Ab Tag 22 wieder unter 100 Infizierte
16
CO₂-Emissionen und Klimaziele
Modellvergleich · Zielzeitpunkt · kritische Beurteilung
schwer26 P
Situation
Deutschland emittierte 2020: 740 Mio. t CO₂.
Klimaziel: −7 % / Jahr. Optimistisches Modell: −10 % / Jahr.
t = Jahre seit 2020
Klimaziel: −7 % / Jahr. Optimistisches Modell: −10 % / Jahr.
t = Jahre seit 2020
- Stellen Sie beide Funktionen \(f(t)\) (7 %) und \(f_\text{opt}(t)\) (10 %) auf.
- Berechnen Sie Emissionen für 2030 und 2040 in beiden Modellen.
- Wann wird in beiden Modellen erstmals unter 100 Mio. t erreicht?
- Beurteilen Sie die Realisierbarkeit des 10-%-Modells.
a
\[ f(t)=740\cdot 0{,}93^t \qquad f_\text{opt}(t)=740\cdot 0{,}90^t \]
b
| Jahr | t | 7 %-Modell | 10 %-Modell |
|---|---|---|---|
| 2030 | 10 | ≈ 358 Mio. t | ≈ 258 Mio. t |
| 2040 | 20 | ≈ 173 Mio. t | ≈ 90 Mio. t |
c
7 %-Modell: \(\;t>\dfrac{\lg(100/740)}{\lg 0{,}93}\approx\dfrac{-0{,}8694}{-0{,}03152}\approx 27{,}6\) → ca. 2048
10 %-Modell: \(\;t>\dfrac{\lg(100/740)}{\lg 0{,}90}\approx\dfrac{-0{,}8694}{-0{,}04576}\approx 19{,}0\) → ca. 2039
10 %-Modell: \(\;t>\dfrac{\lg(100/740)}{\lg 0{,}90}\approx\dfrac{-0{,}8694}{-0{,}04576}\approx 19{,}0\) → ca. 2039
7 %-Modell: Ziel ca. 2048 · 10 %-Modell: Ziel ca. 2039
d
Das 10-%-Modell erfordert drastische jährliche Einsparungen in allen Sektoren (Energie, Verkehr, Industrie). Historisch wurden solche Raten kaum über Jahrzehnte gehalten.
Fazit: Je früher gehandelt wird, desto nachhaltiger kann die Reduktion gradlinig erfolgen – kurzfristige Verzögerungen erzwingen später steilere Kurven.
Fazit: Je früher gehandelt wird, desto nachhaltiger kann die Reduktion gradlinig erfolgen – kurzfristige Verzögerungen erzwingen später steilere Kurven.
Thema 2 · 16 Aufgaben
Differentialrechnung
Ableitungen · Extremstellen · Wendepunkte · Funktionsbestimmung
Potenz-, Faktor- & Summenregel
\[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]
\[ (c \cdot f)' = c \cdot f' \]
\[ (f+g)' = f' + g' \]
Produktregel & Kettenregel
Produktregel:
\[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \]
Kettenregel: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Wichtig: \((e^{kx})' = k \cdot e^{kx}\)
Extremstellen finden
1. \(f'(x) = 0\) lösen → Kandidaten \(x_0\)
2. Zweite Ableitung testen:
\[ f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{Maximum} \]
\[ f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{Minimum} \]
Wendepunkte
1. \(f''(x) = 0\) lösen → Kandidaten
2. Vorzeichenwechsel von \(f''\) prüfen
oder \(f'''(x_0) \neq 0\) zeigen
\[ W = (x_0,\; f(x_0)) \]
Tangente & Normale
Tangente bei \(x_0\):
\[ t(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) \]
Normale (senkrecht zur Tangente):
\[ n(x) = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0) \]
Optimierung
1. Zielfunktion aufstellen (was wird maximiert/minimiert?)
2. Nebenbedingung einsetzen → Funktion in einer Variable
3. \(Z'(x) = 0\) → Extremstelle
4. \(Z''(x)\) prüfen + Sachkontrolle
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Potenzregel | \(x^4\) | \(4x^3\) |
| Kettenregel | \(e^{-0{,}5x}\) | \(-0{,}5\cdot e^{-0{,}5x}\) |
| Produktregel | \(x^2 \cdot e^{-x}\) | \(2x\cdot e^{-x} + x^2\cdot(-e^{-x})\) |
| Summenregel | \(3x^3 - 2x + 5\) | \(9x^2 - 2\) |
1
Ableitungsregeln trainieren
Potenz-, Faktor-, Summenregel · zweite Ableitung
leicht16 P
Aufgabe
Gegeben: \(f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 7x + 4\)
💡 Potenzregel
\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\) – Exponent vorn, Exponent um 1 verkleinern
- Bestimmen Sie \(f'(x)\).
- Bestimmen Sie \(f''(x)\).
- Berechnen Sie die Steigung der Tangente an \(f\) bei \(x_0 = 1\).
- Bei welchem \(x\) hat \(f\) eine waagerechte Tangente? Geben Sie alle Lösungen als Gleichung an.
a
\[ f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 7 \]
b
\[ f''(x) = 36x^2 - 30x + 4 \]
c
\(f'(1) = 12 - 15 + 4 - 7 = -6\)
Steigung bei \(x_0 = 1\): \(m = -6\)
d
Waagerechte Tangente \(\Leftrightarrow f'(x) = 0\):
\[ 12x^3 - 15x^2 + 4x - 7 = 0 \]
Diese Gleichung hat keine ganzzahligen Lösungen → numerische Lösung nötig (z. B. graphisch).
2
Wasserfluss beim Befüllen eines Schwimmbads
Extremstellen · Wendepunkt · Sachinterpretation
leicht25 P
Situation
Die Zuflussrate (m³/min) eines Freibads während einer 20-minütigen Befüllphase:
\(f(x) = x^3 - 27x^2 + 189x\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Zuflussrate in m³/min
\(f(x) = x^3 - 27x^2 + 189x\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Zuflussrate in m³/min
💡 Extremstellen – Vorgehen
1. \(f'(x)\) berechnen | 2. \(f'(x)=0\) lösen | 3. \(f''(x_0)\): < 0 → Max, > 0 → Min
4. y-Wert: \(f(x_0)\) einsetzen
4. y-Wert: \(f(x_0)\) einsetzen
- Bestimmen Sie rechnerisch, wann die Zuflussrate gleich null ist.
- Zeigen Sie, dass die Zuflussrate nach 6 Minuten 378 m³/min beträgt.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Zuflussrate und geben Sie diesen Wert an.
- Weisen Sie nach, dass zu Beginn (\(x=0\)) keine Zuflussrate vorhanden war, und begründen Sie dies sachlich.
- Berechnen Sie den Wendepunkt und interpretieren Sie seine Bedeutung.
a
\[ f(x)=x(x^2-27x+189)=0 \]
\(x_1=0\). Diskriminante: \(729-756=-27<0\) → keine weiteren reellen Nullstellen.
Nullstelle: \(x=0\)
b
\[ f(6)=216-27\cdot 36+189\cdot 6=216-972+1\,134=378\;\checkmark \]
c
\(f'(x)=3x^2-54x+189=0 \;\Rightarrow\; x^2-18x+63=0\)
\[ x=\frac{18\pm\sqrt{324-252}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{72}}{2}=9\pm 3\sqrt{2} \]
\(x_1=9-3\sqrt{2}\approx 4{,}76\;\;\) / \(\;\;x_2\approx 13{,}24\)
\(f''(x)=6x-54\;\Rightarrow\;f''(4{,}76)\approx -25{,}4<0\) → Maximum \[ f(9-3\sqrt{2})\approx 395{,}8\text{ m}^3/\text{min} \]
\(f''(x)=6x-54\;\Rightarrow\;f''(4{,}76)\approx -25{,}4<0\) → Maximum \[ f(9-3\sqrt{2})\approx 395{,}8\text{ m}^3/\text{min} \]
Maximale Zuflussrate bei ca. \(x\approx 4{,}76\) min mit ca. 396 m³/min
d
\(f(0)=0\) ✓ – Die Pumpe läuft noch nicht, daher kein Zufluss.
e
\(f''(x)=6x-54=0 \;\Rightarrow\; x=9\)
\[ f(9)=729-2\,187+1\,701=243 \]
W(9 | 243): Ab Minute 9 nimmt die Zuflussrate nicht mehr zu, sondern beginnt zu sinken.
3
Geräuschpegel an einer Startbahn
Extremstellen · Wendepunkt · Min/Max klassifizieren
leicht22 P
Situation
Geräuschpegel (dB) an einer Startbahn über 12 Minuten:
\(f(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x + 20\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Schallpegel in dB
\(f(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x + 20\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Schallpegel in dB
💡 Vorzeichen des Leitkoeffizienten
Bei \(-x^3\) dreht sich das Kurvenverhalten am Rand um. Die Min/Max-Regel bleibt gleich:
\(f''<0\) → Max | \(f''>0\) → Min
\(f''<0\) → Max | \(f''>0\) → Min
- Berechnen Sie \(f(0)\) und erläutern Sie den Wert sachlich.
- Berechnen Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
- Bestimmen Sie alle Extremstellen und klassifizieren Sie diese.
- Berechnen Sie den Wendepunkt und interpretieren Sie ihn sachlich.
a
\(f(0)=20\) dB → Grundgeräusch am Flughafen, bevor ein Flugzeug startet.
b
\[ f'(x)=-3x^2+18x-15 \qquad f''(x)=-6x+18 \]
c
\(f'(x)=0 \;\Rightarrow\; -3(x^2-6x+5)=0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-5)=0\)
\(x_1=1\): \(f''(1)=12>0\) → Minimum: \(f(1)=-1+9-15+20=13\) dB
\(x_2=5\): \(f''(5)=-12<0\) → Maximum: \(f(5)=-125+225-75+20=45\) dB
\(x_1=1\): \(f''(1)=12>0\) → Minimum: \(f(1)=-1+9-15+20=13\) dB
\(x_2=5\): \(f''(5)=-12<0\) → Maximum: \(f(5)=-125+225-75+20=45\) dB
Tiefpunkt T(1 | 13 dB) · Hochpunkt H(5 | 45 dB)
d
\(f''(x)=0 \;\Rightarrow\; x=3\;\;\) | \(\;\;f(3)=-27+81-45+20=29\) dB
W(3 | 29 dB) – Ab Minute 3 steigt der Lärm am schnellsten (Flugzeug beschleunigt maximal).
W(3 | 29 dB) – Ab Minute 3 steigt der Lärm am schnellsten (Flugzeug beschleunigt maximal).
4
Tangente an eine Parabel
Ableitungswert · Tangentengleichung · waagerechte Tangente
leicht18 P
Aufgabe
Gegeben: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
Gesucht: Tangente und besondere Punkte
Gesucht: Tangente und besondere Punkte
💡 Tangentengleichung
\(t(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)\)
- Bestimmen Sie \(f'(x)\).
- Bestimmen Sie die Tangentengleichung bei \(x_0 = 1\).
- An welcher Stelle hat \(f\) eine waagerechte Tangente? Geben Sie den zugehörigen Punkt an.
- Wo schneidet die Tangente aus b) die \(y\)-Achse?
a
\[ f'(x)=2x-4 \]
b
\(f(1)=1-4+3=0\) · \(f'(1)=2-4=-2\)
\[ t(x)=0+(-2)(x-1)=-2x+2 \]
Tangente bei \(x_0=1\): \(t(x)=-2x+2\)
c
\(f'(x)=0 \;\Rightarrow\; 2x-4=0 \;\Rightarrow\; x=2\)
\(f(2)=4-8+3=-1\)
\(f(2)=4-8+3=-1\)
Waagerechte Tangente im Scheitelpunkt \(S(2\,|\,-1)\)
d
\(t(0)=-2\cdot 0+2=2\)
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0\,|\,2)\)
5
Monotonie einer kubischen Funktion
Monotoniebereiche · lokale Extremwerte
leicht20 P
Aufgabe
Gegeben: \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\)
💡 Monotonie
\(f'(x)>0\) → streng monoton steigend | \(f'(x)<0\) → streng monoton fallend
Vorzeichen von \(f'\) ändert sich an den Nullstellen von \(f'\).
Vorzeichen von \(f'\) ändert sich an den Nullstellen von \(f'\).
- Berechnen Sie \(f'(x)\).
- Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f'(x)\) durch Faktorisierung.
- Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von \(f\).
- Berechnen Sie die lokalen Extremwerte.
a
\[ f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3) \]
b
\[ 3(x-3)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x_1=-1,\quad x_2=3 \]
c
\(f'>0\) für \(x<-1\) (steigend) | \(f'<0\) für \(-10\) für \(x>3\) (steigend)
d
\(f''(x)=6x-6\)
\(x_1=-1\): \(f''(-1)=-12<0\) → lokales Maximum: \(f(-1)=-1-3+9+5=10\)
\(x_2=3\): \(f''(3)=12>0\) → lokales Minimum: \(f(3)=27-27-27+5=-22\)
\(x_1=-1\): \(f''(-1)=-12<0\) → lokales Maximum: \(f(-1)=-1-3+9+5=10\)
\(x_2=3\): \(f''(3)=12>0\) → lokales Minimum: \(f(3)=27-27-27+5=-22\)
Hochpunkt \(H(-1\,|\,10)\) · Tiefpunkt \(T(3\,|\,-22)\)
6
Wassermenge in einer Badewanne
Extremstellen · Wendepunkt · sachliche Interpretation
mittel20 P
Situation
Wassermenge (Liter) in einer Badewanne während Befüllen und Ablassen:
\(f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x\) für \(0\leq x\leq 8\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Liter
\(f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x\) für \(0\leq x\leq 8\)
x = Zeit in Minuten · f(x) = Liter
💡 Sachzusammenhang
Negative Wassermengen sind physikalisch sinnlos. Interpretationen auf realistischen Bereich begrenzen!
- Berechnen Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
- Bestimmen Sie alle Extremstellen und die zugehörigen Wassermengen.
- Berechnen Sie den Wendepunkt und erläutern Sie seine Bedeutung.
- Interpretieren Sie das Maximum sachlich: Was passiert in der Badewanne?
a
\[ f'(x)=6x^2-36x+48=6(x^2-6x+8)=6(x-2)(x-4) \]
\[ f''(x)=12x-36 \]
b
\(x_1=2\): \(f''(2)=24-36=-12<0\) → Maximum: \(f(2)=16-72+96=40\) L
\(x_2=4\): \(f''(4)=48-36=12>0\) → Minimum: \(f(4)=128-288+192=32\) L
\(x_2=4\): \(f''(4)=48-36=12>0\) → Minimum: \(f(4)=128-288+192=32\) L
Hochpunkt H(2 | 40 L) · lokales Tief T(4 | 32 L)
c
\(f''(x)=0 \;\Rightarrow\; x=3\;\;\) | \(\;\;f(3)=54-162+144=36\) L
W(3 | 36 L) – Ab Minute 3 nimmt die Füllgeschwindigkeit ab: Wasser fließt langsamer ein als zuvor.
W(3 | 36 L) – Ab Minute 3 nimmt die Füllgeschwindigkeit ab: Wasser fließt langsamer ein als zuvor.
d
Bei \(x=2\) ist die Wanne mit 40 L am vollsten. Danach fließt mehr Wasser ab als neu hinein – der Pegel sinkt wieder.
7
Temperaturverlauf in einer Fabrikhalle
Kubische Funktion · Extremstellen · Wendepunkt
mittel22 P
Situation
Die Temperatur (°C) in einer Fabrikhalle im Tagesverlauf:
\(f(x) = -0{,}5x^3 + 6x^2 - 18x + 22\) für \(0\leq x\leq 10\)
x = Stunden seit Schichtbeginn · f(x) = Temperatur in °C
\(f(x) = -0{,}5x^3 + 6x^2 - 18x + 22\) für \(0\leq x\leq 10\)
x = Stunden seit Schichtbeginn · f(x) = Temperatur in °C
- Berechnen Sie \(f(0)\) und interpretieren Sie den Wert sachlich.
- Berechnen Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
- Bestimmen Sie alle Extremstellen und klassifizieren Sie diese.
- Berechnen Sie den Wendepunkt. Was bedeutet er für den Temperaturverlauf?
a
\(f(0)=22\) °C → Starttemperatur der Halle zu Schichtbeginn.
b
\[ f'(x)=-1{,}5x^2+12x-18=-1{,}5(x^2-8x+12)=-1{,}5(x-2)(x-6) \]
\[ f''(x)=-3x+12 \]
c
\(x_1=2\): \(f''(2)=6>0\) → Minimum: \(f(2)=-4+24-36+22=6\) °C
\(x_2=6\): \(f''(6)=-6<0\) → Maximum: \(f(6)=-108+216-108+22=22\) °C
\(x_2=6\): \(f''(6)=-6<0\) → Maximum: \(f(6)=-108+216-108+22=22\) °C
Tiefpunkt T(2 | 6 °C) – kälteste Phase · Hochpunkt H(6 | 22 °C) – wärmste Phase
d
\(f''(x)=0 \;\Rightarrow\; x=4\;\;\) | \(\;\;f(4)=-32+96-72+22=14\) °C
W(4 | 14 °C) – Ab Stunde 4 steigt die Temperatur am schnellsten (maximale Erwärmungsrate).
W(4 | 14 °C) – Ab Stunde 4 steigt die Temperatur am schnellsten (maximale Erwärmungsrate).
8
Funktionsgleichung bestimmen – Solarmodul
4 Bedingungen · Gleichungssystem lösen
mittel20 P
Situation
Ein Solarmodul-Prototyp liefert nach 2 Sekunden sein Leistungsmaximum von 6 kW. Die Leistung nimmt nach 3 Sekunden am stärksten ab. Anfangs (\(x=0\)) ist keine Leistung vorhanden.
Modell: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
Modell: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
💡 4 Bedingungen → 4 Gleichungen
I) \(f(0)=0\) | II) \(f'(2)=0\) (Maximum) | III) \(f(2)=6\) | IV) \(f''(3)=0\) (Wendepunkt)
- Stellen Sie die vier Gleichungen auf.
- Lösen Sie das Gleichungssystem und bestimmen Sie \(a, b, c, d\).
- Geben Sie die vollständige Funktionsgleichung an.
- Berechnen Sie \(f(1)\) und \(f(4)\) und interpretieren Sie die Werte.
1
\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\;\;\) | \(\;\;f''(x)=6ax+2b\)
I) \(d=0\) | IV) \(18a+2b=0 \;\Rightarrow\; b=-9a\)
II) \(12a+4b+c=0 \;\Rightarrow\; c=24a\)
III) \(8a+4b+2c=6 \;\Rightarrow\; 8a-36a+48a=6 \;\Rightarrow\; 20a=6\)
I) \(d=0\) | IV) \(18a+2b=0 \;\Rightarrow\; b=-9a\)
II) \(12a+4b+c=0 \;\Rightarrow\; c=24a\)
III) \(8a+4b+2c=6 \;\Rightarrow\; 8a-36a+48a=6 \;\Rightarrow\; 20a=6\)
2
\(a=0{,}3\;\;\) | \(\;\;b=-2{,}7\;\;\) | \(\;\;c=7{,}2\;\;\) | \(\;\;d=0\)
3
\[ f(x)=0{,}3x^3-2{,}7x^2+7{,}2x \]
4
\(f(1)=0{,}3-2{,}7+7{,}2=4{,}8\) kW → Leistung nach 1 Sekunde steigt stark.
\(f(4)=19{,}2-43{,}2+28{,}8=4{,}8\) kW → Symmetrie: nach 4 s gleicher Wert wie nach 1 s.
\(f(4)=19{,}2-43{,}2+28{,}8=4{,}8\) kW → Symmetrie: nach 4 s gleicher Wert wie nach 1 s.
\(f(1)=f(4)=4{,}8\) kW · das Maximum lag bei \(f(2)=6\) kW
9
Wirkstoffkonzentration im Blut
Produktregel · e-Funktion · Maximum
mittel22 P
Situation
Nach Einnahme eines Medikaments: \(f(x) = 3x\cdot e^{-0{,}5x}\)
x = Stunden nach Einnahme · f(x) = Konzentration in mg/L
x = Stunden nach Einnahme · f(x) = Konzentration in mg/L
💡 Produktregel
\(u=3x,\;u'=3\) | \(v=e^{-0{,}5x},\;v'=-0{,}5\cdot e^{-0{,}5x}\)
\(f'=u'v+uv'\)
\(f'=u'v+uv'\)
- Berechnen Sie \(f'(x)\) mit der Produktregel.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Konzentration und den Maximalwert.
- Berechnen Sie \(f(2)\) und \(f(6)\). Erläutern Sie die Werte sachlich.
- Erstellen Sie eine Wertetabelle (\(x=0,1,2,4,6,8\)) und skizzieren Sie den Graphen.
a
\[ f'(x)=3\cdot e^{-0{,}5x}+3x\cdot(-0{,}5)\cdot e^{-0{,}5x}=e^{-0{,}5x}(3-1{,}5x) \]
b
\(f'(x)=0 \;\Rightarrow\; 3-1{,}5x=0 \;\Rightarrow\; x=2\)
\[ f(2)=6\cdot e^{-1}\approx 6\cdot 0{,}368\approx 2{,}21\text{ mg/L} \]
\(f''(x)=e^{-0{,}5x}(-0{,}5(3-1{,}5x)-1{,}5)=e^{-0{,}5x}(0{,}75x-3)\)
\(f''(2)=e^{-1}(-1{,}5)<0\) → Maximum ✓
\(f''(2)=e^{-1}(-1{,}5)<0\) → Maximum ✓
Maximale Konzentration nach 2 Stunden: ca. 2,21 mg/L
c
\(f(2)\approx 2{,}21\) mg/L → Höchste Wirksamkeit nach 2 h
\(f(6)=18\cdot e^{-3}\approx 0{,}90\) mg/L → Konzentration auf unter die Hälfte gesunken
\(f(6)=18\cdot e^{-3}\approx 0{,}90\) mg/L → Konzentration auf unter die Hälfte gesunken
d
| x (h) | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) mg/L | 0,00 | 1,82 | 2,21 | 1,62 | 0,90 | 0,45 |
10
Optimierung – Maximale Gartenfläche
Nebenbedingung · Zielfunktion · Extremwert
mittel22 P
Situation
Ein Bauer hat 200 m Zaun. Er will ein rechteckiges Grundstück einzäunen. Eine Seite wird durch eine Scheune gebildet (kein Zaun nötig).
x = Breite des Grundstücks · A(x) = Fläche in m²
x = Breite des Grundstücks · A(x) = Fläche in m²
💡 Optimierungsstrategie
Nebenbedingung: \(2x + \ell = 200 \;\Rightarrow\; \ell=200-2x\)
Zielfunktion: \(A(x)=x\cdot\ell=x(200-2x)\) – dann ableiten!
Zielfunktion: \(A(x)=x\cdot\ell=x(200-2x)\) – dann ableiten!
- Stellen Sie die Zielfunktion \(A(x)\) auf (vereinfacht).
- Bestimmen Sie \(A'(x)\) und berechnen Sie die optimale Breite \(x\).
- Weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.
- Berechnen Sie die maximale Grundstücksfläche und die Länge der Grundstücksseite.
a
\[ A(x)=x(200-2x)=200x-2x^2 \quad\text{für }0
b
\(A'(x)=200-4x=0 \;\Rightarrow\; x=50\) m
Optimale Breite: 50 m
c
\(A''(x)=-4<0\) für alle \(x\) → Es handelt sich stets um ein Maximum. ✓
d
Länge: \(\ell=200-2\cdot 50=100\) m
\(A(50)=50\cdot 100=5\,000\text{ m}^2\)
\(A(50)=50\cdot 100=5\,000\text{ m}^2\)
Maximale Fläche: 5 000 m² bei Breite 50 m und Länge 100 m
11
Tangente und Normale an einer Kurve
Tangente · senkrechte Gerade · Schnittpunkte
mittel20 P
Aufgabe
Gegeben: \(f(x) = x^3 - 6x\) an der Stelle \(x_0 = 2\)
💡 Tangente & Normale
Normale steht senkrecht zur Tangente: \(m_\text{Nor}=-\dfrac{1}{m_\text{Tan}}\)
- Berechnen Sie \(f(2)\) und \(f'(2)\).
- Geben Sie die Tangentengleichung \(t(x)\) an.
- Geben Sie die Normalengleichung \(n(x)\) an.
- Wo schneidet die Tangente die \(x\)-Achse?
a
\(f(2)=8-12=-4\)
\(f'(x)=3x^2-6 \;\Rightarrow\; f'(2)=12-6=6\)
\(f'(x)=3x^2-6 \;\Rightarrow\; f'(2)=12-6=6\)
b
\[ t(x)=-4+6(x-2)=6x-16 \]
Tangente: \(t(x)=6x-16\)
c
\(m_\text{Nor}=-\dfrac{1}{6}\)
\[ n(x)=-4-\frac{1}{6}(x-2)=-\frac{x}{6}-\frac{11}{3} \]
Normale: \(n(x)=-\tfrac{x}{6}-\tfrac{11}{3}\)
d
\(t(x)=0 \;\Rightarrow\; 6x-16=0 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67\)
Schnittpunkt Tangente / \(x\)-Achse: \(\left(\tfrac{8}{3}\,\big|\,0\right)\)
12
Vollständige Kurvendiskussion
Nullstellen · Extrempunkte · Wendepunkt · Graph
schwer28 P
Aufgabe
Gegeben: \(f(x) = x^3 - 3x^2\)
💡 Reihenfolge der Kurvendiskussion
1. Nullstellen → 2. \(f'(x)=0\) Extremstellen → 3. \(f''(x)=0\) Wendepunkt → 4. Monotonie & Krümmung → 5. Graph
- Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(f\).
- Berechnen Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\).
- Bestimmen Sie alle Extrempunkte mit Klassifizierung.
- Bestimmen Sie den Wendepunkt.
- Beschreiben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten. Skizzieren Sie den Graphen.
a
\(x^3-3x^2=x^2(x-3)=0\)
Nullstellen: \(x_1=0\) (doppelt) · \(x_2=3\)
b
\[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) \qquad f''(x)=6x-6 \]
c
\(f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x_1=0,\;x_2=2\)
\(x_1=0\): \(f''(0)=-6<0\) → lokales Maximum: \(f(0)=0\)
\(x_2=2\): \(f''(2)=6>0\) → lokales Minimum: \(f(2)=8-12=-4\)
\(x_1=0\): \(f''(0)=-6<0\) → lokales Maximum: \(f(0)=0\)
\(x_2=2\): \(f''(2)=6>0\) → lokales Minimum: \(f(2)=8-12=-4\)
Hochpunkt H(0 | 0) · Tiefpunkt T(2 | −4)
d
\(f''(x)=0 \;\Rightarrow\; x=1\;\;\) | \(\;\;f(1)=1-3=-2\)
Wendepunkt W(1 | −2)
e
Monotonie: steigend für \(x<0\), fallend für \(02\)
Krümmung: rechtsgekrümmt für \(x<1\), linksgekrümmt für \(x>1\)
Verhalten: \(f\to-\infty\) für \(x\to-\infty\), \(f\to+\infty\) für \(x\to+\infty\)
Krümmung: rechtsgekrümmt für \(x<1\), linksgekrümmt für \(x>1\)
Verhalten: \(f\to-\infty\) für \(x\to-\infty\), \(f\to+\infty\) für \(x\to+\infty\)
13
Funktionsbestimmung aus Bedingungen
Kubische Funktion · Gleichungssystem · Wendepunkt vorgegeben
schwer25 P
Situation
Eine kubische Funktion \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) erfüllt:
I) \(f(0)=3\) II) \(f'(0)=0\) III) \(f(2)=-1\) IV) \(f''(2)=0\)
I) \(f(0)=3\) II) \(f'(0)=0\) III) \(f(2)=-1\) IV) \(f''(2)=0\)
💡 Vorgehen
\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\)
Bedingung I → d direkt. Bedingung IV → Relation zwischen a und b.
Bedingung I → d direkt. Bedingung IV → Relation zwischen a und b.
- Bestimmen Sie aus den Bedingungen I und II sofort zwei Koeffizienten.
- Stellen Sie aus III und IV ein Gleichungssystem in \(a\) und \(b\) auf und lösen Sie es.
- Geben Sie die vollständige Funktionsgleichung an.
- Bestimmen Sie den Wendepunkt und prüfen Sie: Liegt er bei \(x=2\)?
1
I) \(f(0)=d=3\) | II) \(f'(0)=c=0\)
2
IV) \(f''(2)=12a+2b=0 \;\Rightarrow\; b=-6a\)
III) \(f(2)=8a+4b+3=-1 \;\Rightarrow\; 8a+4(-6a)=-4 \;\Rightarrow\; -16a=-4 \;\Rightarrow\; a=\tfrac{1}{4}\)
\(b=-6\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{3}{2}\)
III) \(f(2)=8a+4b+3=-1 \;\Rightarrow\; 8a+4(-6a)=-4 \;\Rightarrow\; -16a=-4 \;\Rightarrow\; a=\tfrac{1}{4}\)
\(b=-6\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{3}{2}\)
3
\[ f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+3 \]
4
\(f''(x)=\tfrac{3}{2}x-3=0 \;\Rightarrow\; x=2\) ✓
\(f(2)=2-6+3=-1\)
\(f(2)=2-6+3=-1\)
Wendepunkt W(2 | −1) – Bedingung III erfüllt ✓
14
Optimierung – Box aus Blechstreifen
Zielfunktion · Extremwertaufgabe · Sachkontrolle
schwer26 P
Situation
Aus einem 30 cm × 20 cm großen Blech werden an allen vier Ecken quadratische Stücke der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten. Die Ränder werden hochgeklappt → offene Box.
x = Kantenlänge der Ecken in cm · V(x) = Volumen in cm³
x = Kantenlänge der Ecken in cm · V(x) = Volumen in cm³
- Stellen Sie die Volumen-Funktion \(V(x)\) auf (ausmultipliziert).
- Bestimmen Sie den sinnvollen Definitionsbereich.
- Berechnen Sie \(V'(x)\) und bestimmen Sie das Extremum.
- Berechnen Sie das maximale Volumen.
a
Maße der Box: \((30-2x)\times(20-2x)\times x\)
\[ V(x)=x(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x \]
b
\(0
c
\(V'(x)=12x^2-200x+600=4(3x^2-50x+150)=0\)
\[ x=\frac{50\pm\sqrt{2500-1800}}{6}=\frac{50\pm\sqrt{700}}{6}=\frac{50\pm 26{,}46}{6} \]
\(x_1\approx 12{,}74\) (außerhalb D) · \(x_2\approx 3{,}92\) ✓
\(V''(3{,}92)=24\cdot 3{,}92-200\approx -106<0\) → Maximum ✓
\(V''(3{,}92)=24\cdot 3{,}92-200\approx -106<0\) → Maximum ✓
Optimale Kantenlänge: \(x\approx 3{,}92\) cm
d
\(V(3{,}92)\approx 3{,}92\cdot 22{,}16\cdot 12{,}16\approx 1\,056{,}7\text{ cm}^3\)
Maximales Volumen: ca. 1 057 cm³
15
Optimierung – Verpackung mit minimalen Kosten
Quadratischer Boden · Oberfläche minimieren
schwer26 P
Situation
Eine quaderförmige Schachtel mit quadratischem Boden (Seite \(x\)) und Höhe \(h\) soll ein Volumen von 500 cm³ fassen. Das Material kostet 0,02 €/cm². Deckel und Boden sind doppelt stark.
Gesucht: Maße mit minimalen Materialkosten
Gesucht: Maße mit minimalen Materialkosten
💡 Vorgehen
Nebenbedingung: \(V=x^2\cdot h=500 \;\Rightarrow\; h=500/x^2\)
Zielfunktion Oberfläche: \(O(x)=2x^2\text{ (Deckel+Boden)}+4xh\)
Zielfunktion Oberfläche: \(O(x)=2x^2\text{ (Deckel+Boden)}+4xh\)
- Stellen Sie die Oberfläche \(O(x)\) als Funktion in \(x\) auf.
- Berechnen Sie \(O'(x)\) und bestimmen Sie das Minimum.
- Berechnen Sie die optimalen Abmessungen \(x\) und \(h\).
- Berechnen Sie die minimalen Materialkosten.
a
Deckel + Boden (je doppelt): \(2\cdot 2x^2=4x^2\), Seiten: \(4xh=4x\cdot\dfrac{500}{x^2}=\dfrac{2000}{x}\)
\[ O(x)=4x^2+\frac{2000}{x}=4x^2+2000x^{-1} \quad(x>0) \]
b
\(O'(x)=8x-\dfrac{2000}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; 8x^3=2000 \;\Rightarrow\; x^3=250\)
\[ x=\sqrt[3]{250}\approx 6{,}30\text{ cm} \]
\(O''(x)=8+\dfrac{4000}{x^3}>0\) → Minimum ✓
Optimale Grundseite: \(x\approx 6{,}30\) cm
c
\(h=\dfrac{500}{6{,}30^2}\approx\dfrac{500}{39{,}69}\approx 12{,}60\) cm
Optimale Maße: Grundseite ≈ 6,30 cm · Höhe ≈ 12,60 cm (Verhältnis 1 : 2)
d
\(O(6{,}30)=4\cdot 39{,}69+\dfrac{2000}{6{,}30}\approx 158{,}76+317{,}46=476{,}22\text{ cm}^2\)
Kosten: \(476{,}22\cdot 0{,}02\approx 9{,}52\) €
Kosten: \(476{,}22\cdot 0{,}02\approx 9{,}52\) €
Minimale Materialkosten: ca. 9,52 €
16
e-Funktion – Vollständige Analyse
Produktregel · Extremum · Wendepunkte · Sachinterpretation
schwer26 P
Situation
Lautstärke eines Lautsprechers beim Test:
\(f(x) = x^3 \cdot e^{-x}\) für \(x\geq 0\)
x = Zeit in Sekunden · f(x) = skalierte Lautstärke
\(f(x) = x^3 \cdot e^{-x}\) für \(x\geq 0\)
x = Zeit in Sekunden · f(x) = skalierte Lautstärke
💡 Produktregel
\(u=x^3,\;u'=3x^2\) | \(v=e^{-x},\;v'=-e^{-x}\)
- Bestimmen Sie die Nullstelle und interpretieren Sie diese sachlich.
- Weisen Sie nach: \(f'(x)=e^{-x}(3x^2-x^3)\).
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Lautstärke und den Maximalwert.
- Berechnen Sie \(f''(x)\) und bestimmen Sie alle Wendepunkte (\(x\geq 0\)).
a
\(x^3\cdot e^{-x}=0\): Da \(e^{-x}>0\) stets: \(x^3=0 \;\Rightarrow\; x=0\)
Sachlich: Zu Beginn (\(x=0\)) ist die Lautstärke null – Lautsprecher noch nicht eingeschaltet.
Sachlich: Zu Beginn (\(x=0\)) ist die Lautstärke null – Lautsprecher noch nicht eingeschaltet.
b
\[ f'(x)=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(3x^2-x^3)\;\checkmark \]
c
\(f'(x)=0 \;\Rightarrow\; e^{-x}\cdot x^2(3-x)=0\)
Da \(e^{-x}>0\): \(x=0\) oder \(x=3\)
Für \(x=3\): \(f''(3)=e^{-3}(6\cdot 3-9-9\cdot 3)=e^{-3}\cdot(18-9-27)=e^{-3}\cdot(-18)<0\) → Maximum \[ f(3)=27\cdot e^{-3}\approx 27\cdot 0{,}0498\approx 1{,}34 \]
Da \(e^{-x}>0\): \(x=0\) oder \(x=3\)
Für \(x=3\): \(f''(3)=e^{-3}(6\cdot 3-9-9\cdot 3)=e^{-3}\cdot(18-9-27)=e^{-3}\cdot(-18)<0\) → Maximum \[ f(3)=27\cdot e^{-3}\approx 27\cdot 0{,}0498\approx 1{,}34 \]
Maximale Lautstärke bei \(x=3\) s mit ca. 1,34 Einheiten
d
\(f''(x)=e^{-x}(6x-3x^2)+(−e^{-x})(3x^2-x^3)=e^{-x}(x^3-6x^2+6x)\)
\[ f''(x)=e^{-x}\cdot x(x^2-6x+6) \]
\(f''(x)=0\): \(x=0\) oder \(x^2-6x+6=0 \;\Rightarrow\; x=3\pm\sqrt{3}\)
\(x_1\approx 1{,}27\) und \(x_2\approx 4{,}73\)
\(x_1\approx 1{,}27\) und \(x_2\approx 4{,}73\)
Wendepunkte bei \(x\approx 1{,}27\) und \(x\approx 4{,}73\) (und \(x=0\))
Thema 3 · 16 Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen · Flächeninhalte · Änderungsraten · angewandte Integration
Stammfunktion & unbestimmtes Integral
Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\). Das unbestimmte Integral umfasst alle Stammfunktionen:
\[\int f(x)\,dx = F(x)+C\]Jede weitere Stammfunktion unterscheidet sich nur durch die Konstante \(C\).
Grundregeln der Integration
| Regel | Formel |
|---|---|
| Potenzregel (\(n\neq-1\)) | \(\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| Faktorregel | \(\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx\) |
| Summenregel | \(\displaystyle\int[f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx\) |
| e-Funktion | \(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C\) |
| e-Funktion lin. Arg. | \(\displaystyle\int e^{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C\) |
| Natürl. Logarithmus | \(\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\) |
| Lineare Substitution | \(\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\) |
Bestimmtes Integral – Hauptsatz
\[\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)\]Das bestimmte Integral gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen \(f\) und der \(x\)-Achse an (negativer Wert, wenn \(f<0\)).
Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse
\[A = \int_a^b |f(x)|\,dx\]Vorzeichen wechselnde Abschnitte getrennt integrieren und Beträge addieren:
\[A = \left|\int_a^c f(x)\,dx\right| + \left|\int_c^b f(x)\,dx\right|\]wobei \(c\) eine Nullstelle im Intervall \([a,b]\) ist.
Fläche zwischen zwei Kurven
\[A = \int_a^b \bigl|f(x)-g(x)\bigr|\,dx\]Schnittstellen bestimmen (Gleichung \(f(x)=g(x)\) lösen), dann abschnittsweise integrieren.
Mittelwert einer Funktion
\[\bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\]Rekonstruktion aus Änderungsrate
Ist \(f'(x)\) die Änderungsrate einer Größe \(f\), so gilt für den Bestand zum Zeitpunkt \(t\):
\[f(t) = f(t_0) + \int_{t_0}^{t} f'(x)\,dx\]Das bestimmte Integral der Änderungsrate ergibt die Gesamtänderung im Intervall.
Strategisches Vorgehen
- Stammfunktion bestimmen (Regeln anwenden, ggf. lineare Substitution)
- Bei Flächenaufgaben: Nullstellen / Schnittstellen berechnen → Grenzen festlegen
- Vorzeichen prüfen: Liegt Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse?
- Bestimmtes Integral auswerten: \(F(b)-F(a)\)
- Ggf. Beträge addieren für echten Flächeninhalt
- Einheit nicht vergessen (m², L, €, …)
1
Stammfunktion bestimmen
Grundregeln anwenden
Leichtohne NR
Bestimme jeweils eine Stammfunktion.
- \(f(x)=3x^2-2x+5\)
- \(g(x)=4x^3+\frac{1}{2}x\)
- \(h(x)=6\sqrt{x}=6x^{1/2}\)
a
\(F(x)=x^3-x^2+5x+C\)
b
\(G(x)=x^4+\frac{1}{4}x^2+C\)
c
\(H(x)=6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=4x^{3/2}+C=4x\sqrt{x}+C\)
Potenzregel: \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
2
Bestimmtes Integral berechnen
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
LeichtNR
Berechne die bestimmten Integrale:
- \(\displaystyle\int_1^4 (2x+3)\,dx\)
- \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\)
a
\(F(x)=x^2+3x\)
\(\Big[x^2+3x\Big]_1^4=(16+12)-(1+3)=28-4=24\)
\(\Big[x^2+3x\Big]_1^4=(16+12)-(1+3)=28-4=24\)
b
\(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\)
\(\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9-0=9\)
\(\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9-0=9\)
Ergebnisse: \(24\) und \(9\)
3
Fläche unter einer Parabel
einfache Flächenberechnung
LeichtNR
Gegeben: \(f(x)=-x^2+4\). Die Parabel liegt im Bereich \(-2\leq x\leq 2\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.
- Berechne den Flächeninhalt zwischen \(f\) und der \(x\)-Achse.
- Skizziere die Situation (Achsenabschnitte, Scheitelpunkt).
a
Nullstellen: \(-x^2+4=0\Rightarrow x=\pm2\)
\(A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^2+4)\,dx=\Big[-\tfrac{x^3}{3}+4x\Big]_{-2}^{2}\)
\(=\bigl(-\tfrac{8}{3}+8\bigr)-\bigl(\tfrac{8}{3}-8\bigr)=\tfrac{16}{3}+\tfrac{16}{3}=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\)
\(A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^2+4)\,dx=\Big[-\tfrac{x^3}{3}+4x\Big]_{-2}^{2}\)
\(=\bigl(-\tfrac{8}{3}+8\bigr)-\bigl(\tfrac{8}{3}-8\bigr)=\tfrac{16}{3}+\tfrac{16}{3}=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\)
\(A=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67\ \text{FE}\)
4
Integral mit e-Funktion
Stammfunktionen exponentieller Terme
LeichtNR
Bestimme Stammfunktionen und berechne das bestimmte Integral.
- \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx\)
- \(\displaystyle\int 3e^{-x}\,dx\)
- \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\) (Wert berechnen)
a
\(\dfrac{1}{2}e^{2x}+C\)
b
\(-3e^{-x}+C\)
c
\(\Big[\tfrac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^1=\tfrac{1}{2}e^2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{e^2-1}{2}\approx3{,}19\)
\(\dfrac{e^2-1}{2}\approx3{,}19\)
5
Wasservolumen Regenrinne
Integral als Flächeninhalt
LeichtNR
Der Querschnitt einer Regenrinne wird durch \(f(x)=0{,}5x^2-2\) für \(-2\leq x\leq 2\) modelliert (Einheit: cm). Die Rinne hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel, wobei der tiefste Punkt bei \(y=-2\) liegt.
Verschiebe \(f\) so, dass der tiefste Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, oder berechne die Fläche zwischen \(f\) und dem Scheitelpunkt direkt.
- Berechne die Querschnittsfläche des Rinnenprofils (zwischen Parabel und der Geraden \(y=0\)).
a
Nullstellen von \(f\): \(0{,}5x^2-2=0\Rightarrow x=\pm2\)
Im Intervall \([-2,2]\) ist \(f(x)\leq0\), also liegt die Kurve unterhalb der \(x\)-Achse.
Querschnittsfläche \(= \left|\int_{-2}^{2}(0{,}5x^2-2)\,dx\right|\)
\(=\left|\Big[\tfrac{x^3}{6}-2x\Big]_{-2}^{2}\right|=\left|(\tfrac{8}{6}-4)-(-\tfrac{8}{6}+4)\right|\)
\(=\left|\tfrac{8}{3}-4-(-\tfrac{8}{3}+4)\right|=\left|\tfrac{16}{3}-8\right|=\tfrac{8}{3}\approx2{,}67\ \text{cm}^2\)
Im Intervall \([-2,2]\) ist \(f(x)\leq0\), also liegt die Kurve unterhalb der \(x\)-Achse.
Querschnittsfläche \(= \left|\int_{-2}^{2}(0{,}5x^2-2)\,dx\right|\)
\(=\left|\Big[\tfrac{x^3}{6}-2x\Big]_{-2}^{2}\right|=\left|(\tfrac{8}{6}-4)-(-\tfrac{8}{6}+4)\right|\)
\(=\left|\tfrac{8}{3}-4-(-\tfrac{8}{3}+4)\right|=\left|\tfrac{16}{3}-8\right|=\tfrac{8}{3}\approx2{,}67\ \text{cm}^2\)
Querschnittsfläche \(\approx2{,}67\ \text{cm}^2\)
6
Fläche mit Vorzeichenwechsel
Kubische Funktion, Nullstellenanalyse nötig
MittelNR
Gegeben: \(f(x)=x^3-3x\). Berechne die von der Funktion und der \(x\)-Achse eingeschlossene Fläche im Intervall \([-2,\,2]\).
Bestimme zunächst die Nullstellen im Intervall. Das Integral über das gesamte Intervall ergibt durch Symmetrie den Wert 0 – das ist nicht die gesuchte Fläche!
- Bestimme alle Nullstellen von \(f\) im Intervall.
- Berechne den Flächeninhalt korrekt (mit Betragsregel).
a
\(x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0,\;x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73\)
b
Vorzeichen: \(f<0\) auf \([-2,-\sqrt3]\), \(f>0\) auf \([-\sqrt3,0]\), \(f<0\) auf \([0,\sqrt3]\), \(f>0\) auf \([\sqrt3,2]\)
Stammfunktion: \(F(x)=\tfrac{x^4}{4}-\tfrac{3x^2}{2}\)
\(I_1=\Big[F(x)\Big]_{-2}^{-\sqrt3}=F(-\sqrt3)-F(-2)=(\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2})-(4-6)=-\tfrac{9}{4}+2=\tfrac{-1}{4}\)
\(I_2=\Big[F(x)\Big]_{-\sqrt3}^{0}=0-(-\tfrac{9}{4})=\tfrac{9}{4}\)
Durch Punktsymmetrie: \(I_3=-\tfrac{9}{4}\), \(I_4=\tfrac{1}{4}\)
\(A=|I_1|+|I_2|+|I_3|+|I_4|=\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{20}{4}=5\)
Stammfunktion: \(F(x)=\tfrac{x^4}{4}-\tfrac{3x^2}{2}\)
\(I_1=\Big[F(x)\Big]_{-2}^{-\sqrt3}=F(-\sqrt3)-F(-2)=(\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2})-(4-6)=-\tfrac{9}{4}+2=\tfrac{-1}{4}\)
\(I_2=\Big[F(x)\Big]_{-\sqrt3}^{0}=0-(-\tfrac{9}{4})=\tfrac{9}{4}\)
Durch Punktsymmetrie: \(I_3=-\tfrac{9}{4}\), \(I_4=\tfrac{1}{4}\)
\(A=|I_1|+|I_2|+|I_3|+|I_4|=\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{20}{4}=5\)
\(A=5\ \text{FE}\)
7
Fläche zwischen zwei Parabeln
Schnittstellen bestimmen, dann integrieren
MittelNR
Gegeben: \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=-x^2+8\). Berechne die Fläche, die von \(f\) und \(g\) eingeschlossen wird.
- Bestimme die Schnittstellen von \(f\) und \(g\).
- Berechne die eingeschlossene Fläche.
a
\(x^2=-x^2+8\Rightarrow2x^2=8\Rightarrow x=\pm2\)
b
Auf \([-2,2]\): \(g(x)\geq f(x)\), also \(g-f=-x^2+8-x^2=-2x^2+8\)
\(A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(-2x^2+8)\,dx=\Big[-\tfrac{2x^3}{3}+8x\Big]_{-2}^{2}\)
\(=(-\tfrac{16}{3}+16)-(\tfrac{16}{3}-16)=-\tfrac{32}{3}+32=\tfrac{64}{3}\approx21{,}3\)
\(A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(-2x^2+8)\,dx=\Big[-\tfrac{2x^3}{3}+8x\Big]_{-2}^{2}\)
\(=(-\tfrac{16}{3}+16)-(\tfrac{16}{3}-16)=-\tfrac{32}{3}+32=\tfrac{64}{3}\approx21{,}3\)
\(A=\dfrac{64}{3}\approx21{,}3\ \text{FE}\)
8
Benzinverbrauch rekonstruieren
Änderungsrate integrieren
MittelNR
Der Momentanverbrauch eines Autos (in L/min) wird modelliert durch \(v(t)=0{,}02t^2-0{,}12t+0{,}5\) für \(0\leq t\leq 10\) (Minuten). Zu Beginn (\(t=0\)) hat der Tank noch \(45\ \text{L}\).
- Berechne den gesamten Kraftstoffverbrauch in den ersten 10 Minuten.
- Wie viel Liter sind nach 10 Minuten noch im Tank?
- Ab welcher Zeit \(t^*\) ist der Verbrauch pro Minute minimal?
a
\(\displaystyle\int_0^{10}(0{,}02t^2-0{,}12t+0{,}5)\,dt=\Big[\tfrac{0{,}02}{3}t^3-0{,}06t^2+0{,}5t\Big]_0^{10}\)
\(=\tfrac{200}{3}-6+5=\tfrac{200}{3}-1\approx66{,}67-1\approx\mathbf{2{,}33\ \text{L}}\)
Hinweis: \(\tfrac{0{,}02\cdot1000}{3}=\tfrac{20}{3}\approx6{,}67;\ 0{,}06\cdot100=6;\ 0{,}5\cdot10=5\)
Gesamt: \(\tfrac{20}{3}-6+5=\tfrac{20}{3}-1=\tfrac{17}{3}\approx5{,}67\ \text{L}\)
\(=\tfrac{200}{3}-6+5=\tfrac{200}{3}-1\approx66{,}67-1\approx\mathbf{2{,}33\ \text{L}}\)
Hinweis: \(\tfrac{0{,}02\cdot1000}{3}=\tfrac{20}{3}\approx6{,}67;\ 0{,}06\cdot100=6;\ 0{,}5\cdot10=5\)
Gesamt: \(\tfrac{20}{3}-6+5=\tfrac{20}{3}-1=\tfrac{17}{3}\approx5{,}67\ \text{L}\)
b
\(45-\tfrac{17}{3}=\tfrac{135-17}{3}=\tfrac{118}{3}\approx39{,}3\ \text{L}\)
c
\(v'(t)=0{,}04t-0{,}12=0\Rightarrow t^*=3\ \text{min}\)
\(v''(t)=0{,}04>0\) → Minimum ✓
\(v''(t)=0{,}04>0\) → Minimum ✓
Verbrauch: \(\tfrac{17}{3}\approx5{,}67\ \text{L}\); Tank nach 10 min: \(\approx39{,}3\ \text{L}\); Minimum bei \(t=3\ \text{min}\)
9
Bevölkerungswachstum
Rekonstruktion aus Zuwachsrate
MittelNR
Die Zuwachsrate einer Stadtbevölkerung (in 1000 Personen/Jahr) beträgt \(r(t)=0{,}3t^2-1{,}8t+3\) für \(0\leq t\leq 8\). Zur Zeit \(t=0\) hat die Stadt 120 000 Einwohner.
- Berechne die Gesamtzunahme der Bevölkerung in den ersten 6 Jahren.
- Wie groß ist die Bevölkerung zum Zeitpunkt \(t=6\)?
- In welchem Jahr ist die Zuwachsrate am niedrigsten?
a
\(\displaystyle\int_0^6(0{,}3t^2-1{,}8t+3)\,dt=\Big[0{,}1t^3-0{,}9t^2+3t\Big]_0^6\)
\(=0{,}1\cdot216-0{,}9\cdot36+18=21{,}6-32{,}4+18=7{,}2\)
\(=0{,}1\cdot216-0{,}9\cdot36+18=21{,}6-32{,}4+18=7{,}2\)
b
\(120 + 7{,}2 = 127{,}2\ \text{(Tausend)} = 127\,200\ \text{Einwohner}\)
c
\(r'(t)=0{,}6t-1{,}8=0\Rightarrow t=3\); \(r''=0{,}6>0\) → Minimum bei \(t=3\)
\(r(3)=0{,}3\cdot9-1{,}8\cdot3+3=2{,}7-5{,}4+3=0{,}3\ \text{Tausend/Jahr}\)
\(r(3)=0{,}3\cdot9-1{,}8\cdot3+3=2{,}7-5{,}4+3=0{,}3\ \text{Tausend/Jahr}\)
Zunahme: 7200 Personen; Bevölkerung: 127 200; Minimum der Zuwachsrate im 3. Jahr
10
Mittelwert einer Funktion
Durchschnittswert über ein Intervall
MittelNR
Die Temperatur in einem Gewächshaus (in °C) über 12 Stunden wird modelliert durch \(T(t)=-\tfrac{1}{12}t^2+2t+15\), \(0\leq t\leq12\).
- Berechne die Durchschnittstemperatur über die gesamten 12 Stunden.
- Wann ist die Temperatur am höchsten, und welchen Wert hat sie dann?
a
\(\bar T=\dfrac{1}{12}\displaystyle\int_0^{12}\!\left(-\tfrac{t^2}{12}+2t+15\right)dt\)
\(=\dfrac{1}{12}\Big[-\tfrac{t^3}{36}+t^2+15t\Big]_0^{12}\)
\(=\dfrac{1}{12}\left(-\tfrac{1728}{36}+144+180\right)=\dfrac{1}{12}(-48+144+180)=\dfrac{276}{12}=23\ °\text{C}\)
\(=\dfrac{1}{12}\Big[-\tfrac{t^3}{36}+t^2+15t\Big]_0^{12}\)
\(=\dfrac{1}{12}\left(-\tfrac{1728}{36}+144+180\right)=\dfrac{1}{12}(-48+144+180)=\dfrac{276}{12}=23\ °\text{C}\)
b
\(T'(t)=-\tfrac{t}{6}+2=0\Rightarrow t=12\)
Randwert! Prüfe: \(T'>0\) auf \((0,12)\) → \(T\) streng monoton wachsend → Maximum am Rand \(t=12\)
\(T(12)=-\tfrac{144}{12}+24+15=-12+24+15=27\ °\text{C}\)
Randwert! Prüfe: \(T'>0\) auf \((0,12)\) → \(T\) streng monoton wachsend → Maximum am Rand \(t=12\)
\(T(12)=-\tfrac{144}{12}+24+15=-12+24+15=27\ °\text{C}\)
Durchschnitt: 23 °C; Maximum: 27 °C bei \(t=12\ \text{h}\)
11
Umsatzrekonstruktion
Gesamtumsatz aus Umsatzrate
MittelNR
Die tägliche Umsatzänderung eines Online-Shops (in 1000 €/Tag) im ersten Quartal (\(0\leq t\leq 90\) Tage) wird modelliert durch \(u(t)=0{,}005t^2-0{,}5t+15\).
- Berechne den Gesamtumsatz im ersten Quartal (0 bis 90 Tage).
- An welchem Tag ist der Tagesumsatz am geringsten?
- Wie hoch ist der minimale Tagesumsatz?
a
\(\displaystyle\int_0^{90}(0{,}005t^2-0{,}5t+15)\,dt=\Big[\tfrac{0{,}005}{3}t^3-0{,}25t^2+15t\Big]_0^{90}\)
\(=\tfrac{0{,}005\cdot729000}{3}-0{,}25\cdot8100+1350=\tfrac{3645}{3}-2025+1350=1215-2025+1350=540\)
\(=\tfrac{0{,}005\cdot729000}{3}-0{,}25\cdot8100+1350=\tfrac{3645}{3}-2025+1350=1215-2025+1350=540\)
b
\(u'(t)=0{,}01t-0{,}5=0\Rightarrow t=50\); \(u''=0{,}01>0\) → Minimum am Tag 50
c
\(u(50)=0{,}005\cdot2500-0{,}5\cdot50+15=12{,}5-25+15=2{,}5\ \text{T€}\)
Gesamtumsatz: 540 000 €; Minimum: 2500 €/Tag an Tag 50
12
Staudamm – kumulierter Wasserzufluss
Integral einer e-Funktion, Bestandsrekonstruktion
SchwerNR
Der Wasserzufluss in einen Stausee beträgt (in Mio. m³/Monat): \(z(t)=4e^{-0{,}2t}+1\) für \(0\leq t\leq 12\). Gleichzeitig wird Wasser mit konstant \(2{,}5\ \text{Mio. m}^3/\text{Monat}\) entnommen. Zu Beginn sind 20 Mio. m³ im See.
- Bestimme den Netto-Zufluss \(n(t)=z(t)-2{,}5\).
- Berechne den Wasserstand nach 12 Monaten.
- Wann ist der See am vollsten (Netto-Zufluss wechselt von positiv zu negativ)?
a
\(n(t)=4e^{-0{,}2t}-1{,}5\)
b
\(\displaystyle\int_0^{12}n(t)\,dt=\Big[-20e^{-0{,}2t}-1{,}5t\Big]_0^{12}\)
\(=(-20e^{-2{,}4}-18)-(-20-0)=-20e^{-2{,}4}-18+20\)
\(=2-20e^{-2{,}4}\approx2-20\cdot0{,}0907\approx2-1{,}81\approx0{,}19\)
Wasserstand: \(20+0{,}19\approx20{,}19\ \text{Mio. m}^3\)
\(=(-20e^{-2{,}4}-18)-(-20-0)=-20e^{-2{,}4}-18+20\)
\(=2-20e^{-2{,}4}\approx2-20\cdot0{,}0907\approx2-1{,}81\approx0{,}19\)
Wasserstand: \(20+0{,}19\approx20{,}19\ \text{Mio. m}^3\)
c
\(n(t)=0\Rightarrow4e^{-0{,}2t}=1{,}5\Rightarrow e^{-0{,}2t}=0{,}375\)
\(-0{,}2t=\ln(0{,}375)\Rightarrow t=-5\ln(0{,}375)\approx-5\cdot(-0{,}981)\approx4{,}9\ \text{Monate}\)
\(-0{,}2t=\ln(0{,}375)\Rightarrow t=-5\ln(0{,}375)\approx-5\cdot(-0{,}981)\approx4{,}9\ \text{Monate}\)
Nach 12 Monaten: \(\approx20{,}19\ \text{Mio. m}^3\); Maximum nach ca. 4,9 Monaten
13
Fläche zwischen Sinusfunktion und Parabel
Schnittstellen numerisch, gemischte Stammfunktionen
SchwerNR
Gegeben: \(f(x)=2\sin(x)\) und \(g(x)=\tfrac{2}{\pi^2}x^2-1\) auf \([0,\pi]\). Die Schnittstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=\pi\). Für \(0<x<\pi\) gilt \(f(x)>g(x)\).
Stammfunktion von \(\sin(x)\) ist \(-\cos(x)\).
- Berechne die eingeschlossene Fläche \(A=\displaystyle\int_0^\pi\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\).
- Überprüfe: Hat \(f\) auf \([0,\pi]\) tatsächlich stets \(f(x)\geq g(x)\)? (Scheitelpunkte vergleichen.)
a
\(f(x)-g(x)=2\sin x-\tfrac{2}{\pi^2}x^2+1\)
\(\displaystyle\int_0^\pi\!\left(2\sin x-\tfrac{2x^2}{\pi^2}+1\right)dx=\Big[-2\cos x-\tfrac{2x^3}{3\pi^2}+x\Big]_0^\pi\)
\(=\bigl(-2\cos\pi-\tfrac{2\pi^3}{3\pi^2}+\pi\bigr)-\bigl(-2\cos0-0+0\bigr)\)
\(=\bigl(2-\tfrac{2\pi}{3}+\pi\bigr)-(-2)=4+\pi-\tfrac{2\pi}{3}=4+\tfrac{\pi}{3}\approx4+1{,}047\approx5{,}05\)
\(\displaystyle\int_0^\pi\!\left(2\sin x-\tfrac{2x^2}{\pi^2}+1\right)dx=\Big[-2\cos x-\tfrac{2x^3}{3\pi^2}+x\Big]_0^\pi\)
\(=\bigl(-2\cos\pi-\tfrac{2\pi^3}{3\pi^2}+\pi\bigr)-\bigl(-2\cos0-0+0\bigr)\)
\(=\bigl(2-\tfrac{2\pi}{3}+\pi\bigr)-(-2)=4+\pi-\tfrac{2\pi}{3}=4+\tfrac{\pi}{3}\approx4+1{,}047\approx5{,}05\)
b
Maximum von \(f\): \(f(\pi/2)=2\). Maximum von \(g\) an Randstellen: \(g(0)=-1\), \(g(\pi)=-1\). Scheitelpunkt von \(g\): \(g'=\tfrac{4}{\pi^2}x=0\Rightarrow x=0\), Minimum \(g(0)=-1\). Da \(g\leq-1\) auf \([0,\pi]\) nein — \(g\) hat Minimum \(-1\) bei \(x=0\) und steigt bis \(g(\pi)=2-1=1\). Genauer: \(g(\pi)=\tfrac{2}{\pi^2}\cdot\pi^2-1=1\). So ist \(g(\pi)=1=f(\pi)=2\sin\pi=0\) — die Behauptung gilt nicht am Rand; an den Rändern gilt \(f=g=0\) per Konstruktion der Aufgabe.
\(A=4+\dfrac{\pi}{3}\approx5{,}05\ \text{FE}\)
14
Produktionsanlage – Gewinnoptimierung
Integration + Extremwert kombiniert
SchwerNR
Eine Produktionsanlage erzeugt Gewinn mit der Änderungsrate \(g'(t)=-0{,}6t^2+6t-6\) (in T€/Monat) für \(0\leq t\leq 9\). Zu Beginn beträgt der kumulierte Gewinn 0 €.
- Bestimme, in welchen Zeiträumen die Anlage Gewinn bzw. Verlust erwirtschaftet.
- Berechne den maximalen kumulierten Gewinn.
- Wie hoch ist der Gesamtgewinn am Ende des Betrachtungszeitraums (\(t=9\))?
a
Nullstellen von \(g'\): \(-0{,}6t^2+6t-6=0\Rightarrow t^2-10t+10=0\)
\(t=5\pm\sqrt{15}\Rightarrow t_1\approx1{,}13,\;t_2\approx8{,}87\)
Gewinn auf \((1{,}13;\,8{,}87)\), Verlust außerhalb.
\(t=5\pm\sqrt{15}\Rightarrow t_1\approx1{,}13,\;t_2\approx8{,}87\)
Gewinn auf \((1{,}13;\,8{,}87)\), Verlust außerhalb.
b
Stammfunktion: \(G(t)=-0{,}2t^3+3t^2-6t\)
Maximum des kumulierten Gewinns bei \(t_2\approx8{,}87\):
\(G(8{,}87)\approx-0{,}2\cdot697+3\cdot78{,}7-6\cdot8{,}87\approx-139{,}4+236{,}1-53{,}2\approx43{,}5\ \text{T€}\)
Maximum des kumulierten Gewinns bei \(t_2\approx8{,}87\):
\(G(8{,}87)\approx-0{,}2\cdot697+3\cdot78{,}7-6\cdot8{,}87\approx-139{,}4+236{,}1-53{,}2\approx43{,}5\ \text{T€}\)
c
\(G(9)=-0{,}2\cdot729+3\cdot81-54=-145{,}8+243-54=43{,}2\ \text{T€}\)
Gewinnphase: ca. \(t\in(1{,}13;\,8{,}87)\); max. kumulierter Gewinn: \(\approx43{,}5\ \text{T€}\); Endgewinn: \(\approx43{,}2\ \text{T€}\)
15
Volumen eines Rotationskörpers
Scheibenmethode
SchwerNR
Die Funktion \(f(x)=\sqrt{x}\) wird auf dem Intervall \([0,4]\) um die \(x\)-Achse rotiert. Das entstandene Rotationsvolumen berechnet sich nach der Scheibenmethode: \(V=\pi\displaystyle\int_a^b [f(x)]^2\,dx\).
- Berechne das Rotationsvolumen.
- Wie ändert sich das Volumen, wenn man \(f(x)=2\sqrt{x}\) verwendet?
a
\([f(x)]^2=(\sqrt x)^2=x\)
\(V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=\pi\cdot8=8\pi\approx25{,}1\ \text{VE}\)
\(V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=\pi\cdot8=8\pi\approx25{,}1\ \text{VE}\)
b
\([2\sqrt x]^2=4x\)
\(V=\pi\int_0^4 4x\,dx=4\pi\cdot8=32\pi\approx100{,}5\ \text{VE}\)
Das Volumen vervierfacht sich (Faktor 4), weil \([kf]^2=k^2f^2\).
\(V=\pi\int_0^4 4x\,dx=4\pi\cdot8=32\pi\approx100{,}5\ \text{VE}\)
Das Volumen vervierfacht sich (Faktor 4), weil \([kf]^2=k^2f^2\).
\(V_1=8\pi\approx25{,}1\ \text{VE}\); \(V_2=32\pi\approx100{,}5\ \text{VE}\)
16
Vollständige Anwendungsaufgabe – Solarpark
Energiebilanz über einen Tag
SchwerNR
Ein Solarpark erzeugt Strom mit der Leistungsrate (in MW): \(P(t)=\tfrac{8}{\pi}\sin\!\left(\tfrac{\pi t}{12}\right)\cdot t(24-t)\cdot0{,}005\) – vereinfacht auf \(P(t)=-0{,}02t^2+0{,}48t\) für \(0\leq t\leq 24\) (Stunden). Der Grundverbrauch der Region beträgt konstant \(2{,}5\ \text{MW}\).
- Berechne die gesamte erzeugte Energie über 24 Stunden (in MWh, also \(\int_0^{24}P(t)\,dt\)).
- Wann ist die Leistung maximal?
- Berechne die Energie-Überproduktion, d.h. den Zeitraum und die Energiemenge, in dem \(P(t)>2{,}5\).
a
\(\displaystyle\int_0^{24}(-0{,}02t^2+0{,}48t)\,dt=\Big[-\tfrac{0{,}02}{3}t^3+0{,}24t^2\Big]_0^{24}\)
\(=-\tfrac{0{,}02\cdot13824}{3}+0{,}24\cdot576=-92{,}16+138{,}24=46{,}08\ \text{MWh}\)
\(=-\tfrac{0{,}02\cdot13824}{3}+0{,}24\cdot576=-92{,}16+138{,}24=46{,}08\ \text{MWh}\)
b
\(P'(t)=-0{,}04t+0{,}48=0\Rightarrow t=12\ \text{h}\)
\(P(12)=-0{,}02\cdot144+0{,}48\cdot12=-2{,}88+5{,}76=2{,}88\ \text{MW}\)
\(P(12)=-0{,}02\cdot144+0{,}48\cdot12=-2{,}88+5{,}76=2{,}88\ \text{MW}\)
c
\(P(t)=2{,}5\Rightarrow-0{,}02t^2+0{,}48t-2{,}5=0\Rightarrow t^2-24t+125=0\)
\(t=12\pm\sqrt{144-125}=12\pm\sqrt{19}\approx12\pm4{,}36\)
\(t_1\approx7{,}64\ \text{h},\quad t_2\approx16{,}36\ \text{h}\)
Überproduktion: \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(P(t)-2{,}5)\,dt\)
\(=\Big[-\tfrac{0{,}02}{3}t^3+0{,}24t^2-2{,}5t\Big]_{7{,}64}^{16{,}36}\approx4{,}92-(-4{,}92)\cdot\ldots\)
Numerisch: \(\approx\tfrac{2}{3}\cdot(2{,}88-2{,}5)\cdot(16{,}36-7{,}64)\approx\tfrac{2}{3}\cdot0{,}38\cdot8{,}72\approx2{,}2\ \text{MWh}\)
\(t=12\pm\sqrt{144-125}=12\pm\sqrt{19}\approx12\pm4{,}36\)
\(t_1\approx7{,}64\ \text{h},\quad t_2\approx16{,}36\ \text{h}\)
Überproduktion: \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(P(t)-2{,}5)\,dt\)
\(=\Big[-\tfrac{0{,}02}{3}t^3+0{,}24t^2-2{,}5t\Big]_{7{,}64}^{16{,}36}\approx4{,}92-(-4{,}92)\cdot\ldots\)
Numerisch: \(\approx\tfrac{2}{3}\cdot(2{,}88-2{,}5)\cdot(16{,}36-7{,}64)\approx\tfrac{2}{3}\cdot0{,}38\cdot8{,}72\approx2{,}2\ \text{MWh}\)
Erzeugte Energie: 46,08 MWh; Maximum bei 12 h (2,88 MW); Überproduktion ca. 2,2 MWh in \([7{,}64;\,16{,}36]\ \text{h}\)